GMAT數(shù)學(xué)階乘和整除相關(guān)的考法

    我們知道如果整數(shù)a和b的乘積為c，則a和b都是c的因數(shù)或者約數(shù)，也可以說c能夠被a或者b整除。而n的階乘本身就是1到n所有整數(shù)的乘積，相應(yīng)1到n所有整數(shù)都去整除n的階乘。比如100!可以被1-100以內(nèi)的任何整數(shù)整除。相應(yīng)可以判斷100!/2、100!/3都是整數(shù)。

    但是如果在100!的基礎(chǔ)上加1，則不能被2-100以內(nèi)的任何整數(shù)整除。可以有兩種考慮方式：

    1. 100!是2-100以內(nèi)整數(shù)的倍數(shù)，現(xiàn)在多了1個(gè)，除以2就要多1個(gè)，余1，除以其他的也是余1，既然有非零的余數(shù)，顯然就不是整除。

    2. (100!+1)/2可以拆分為100！/2+1/2，左邊是個(gè)整數(shù)，右邊是0.5，加在一起是個(gè)正兒八經(jīng)的小數(shù)，顯然不能整除。

    既然100!+1不能被2-100以內(nèi)的任何整數(shù)整除，但它作為一個(gè)大于1的正整數(shù)顯然又會(huì)有質(zhì)因數(shù)，那它的質(zhì)因數(shù)肯定不能在2-100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)里找到了，所以它最小的質(zhì)因數(shù)也在100以上。

    考試的時(shí)候還會(huì)考比如100!+2除以200余多少的問題，200可以拆成2*100，在100!里顯然有2和100這兩個(gè)因數(shù)，所以可以被200整除，所以余數(shù)取決于多出來的2，多2，所以余2。

    之前還考過判斷質(zhì)數(shù)的題，比如100!+2, 100!+3, 100!+4, 100!+5, 問哪個(gè)是質(zhì)數(shù)。哪個(gè)都不是，因?yàn)?2可以提取出2這個(gè)因數(shù)，+3可以提取出3這個(gè)因數(shù)，相應(yīng)他們?cè)?和自身以外都有2或者3之類的因數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。

    我們來看幾個(gè)難題的例子。

    PS：k為1 more than 2到29中所有質(zhì)數(shù)的乘積，就是k=1+2*3*5*7*…*29。判斷 I：k是30的倍數(shù) II：k是29以內(nèi)某個(gè)質(zhì)數(shù)的倍數(shù) III：k是29以外質(zhì)數(shù)的倍數(shù)。哪些是對(duì)的。

    解析：可以把x定義為2到29所有質(zhì)數(shù)的乘積，所以k=x+1。x有2、3、5這三個(gè)因數(shù)，所以x是30的倍數(shù)，k比x多1，所以x不可能是30的倍數(shù)，除30余1，所以第一個(gè)不對(duì)。

    x的質(zhì)因數(shù)里面有2到29所有的質(zhì)數(shù)，所以x是29以內(nèi)所有質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，k比x多1，所以k除以2到29以內(nèi)任意質(zhì)數(shù)都會(huì)余1，所以不是29以內(nèi)任意質(zhì)數(shù)的倍數(shù)，所以第二個(gè)也不對(duì)。

    關(guān)于第三個(gè)，考試的時(shí)候沒有選項(xiàng)說三個(gè)都錯(cuò)的，所以很明顯可以確定第三個(gè)一定對(duì)。對(duì)的原因是，k大于1，而且是整數(shù)，所以它不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)，如果是質(zhì)數(shù)的話它的質(zhì)因數(shù)就是自己，如果是合數(shù)的話就意味著有其他質(zhì)數(shù)是它的因數(shù)。又    因?yàn)榭紤]第二個(gè)結(jié)果的時(shí)候我們知道2到29以內(nèi)的任何質(zhì)數(shù)都不是k的因數(shù)，但k又一定有質(zhì)因數(shù)，所以k的質(zhì)因數(shù)肯定是超過29的，所以k一定是29以上質(zhì)數(shù)的倍數(shù)。以前也出現(xiàn)過一個(gè)說法是k的最小質(zhì)因數(shù)大于29，這么說也是對(duì)的。

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